ISSDE 基本理论 Basic theory

ISSDE参考文献

• 基于随机微分方程的碰撞模拟程序在等离子体中的应用
• ​ISSDE program
• ​Fast ion loss in EAST
• ​ICRF-NBI synergy produced fast ion loss

ISSDE基本算法

• 分裂法

ISSDE主要求解的方程是¹
\begin{equation}\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} & =\mathbf{v}\ ,\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} & =\frac{q}{m}\mathbf{E}+\frac{q}{m}\mathbf{v}\times\mathbf{B}+\mathbf{a}_{c}\ ,\end{cases}\end{equation}
其中\mathbf{a}_{c}是有库伦碰撞引起的加速度。根据分裂法，这个方程可以看成一个矢量场\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v})=\left[\begin{array}{c}\mathbf{v}\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{q}{m}\mathbf{E}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{q}{m}\mathbf{v}\times\mathbf{B}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathbf{a}_{c}\end{array}\right]\ ,
因此上述系统可以分成4个可以独立求解的部分，子系统是
\boldsymbol{\phi}_t ^{F_1}:\begin{cases}\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{v}_0,\ \\ \boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{v}_0,\ \end{cases}
\boldsymbol{\phi}_t ^{F_2}:\begin{cases}\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_0,\ \\ \boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{v}_0+tq\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0)/m,\ \end{cases}
\boldsymbol{\phi}_t ^{F_3}:\begin{cases}\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{v}_0,\ \\ \boldsymbol{v}(t)=\exp(-t\frac{q}{m}\hat{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{x}_0))\boldsymbol{v}_0,\ \end{cases}
其中
\hat{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{x})=\left[\begin{array}{ccc}0 & -B_{3}(\boldsymbol{x}) & B_{2}(\boldsymbol{x})\\ B_{3}(\boldsymbol{x}) & 0 & -B_{1}(\boldsymbol{x})\\ -B_{2}(\boldsymbol{x}) & B_{1}(\boldsymbol{x}) & 0 \end{array}\right]
\boldsymbol{\phi}_t ^{F_4}:\begin{cases}\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_0,\ \\ \int\rm{d}\boldsymbol{v}=\int\boldsymbol{a}_{c}\rm{d}t\ . \end{cases}
主要目的是对于确定性部分，\boldsymbol{\phi}_t ^{F_1},\ \boldsymbol{\phi}_t ^{F_2},\ \boldsymbol{\phi}_t ^{F_3}，我们可以使用保体积算法进行求解，对于碰撞部分\boldsymbol{\phi}_t ^{F_4}，依旧采用Newton-Raphson方法或者拟牛顿方法进行计算。为了构造一个类似于Boris算法的一个二阶隐式中点算法，我们使用如下组合
\boldsymbol{G}_h ^2=\boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_1}\circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_2} \circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_4} \circ \boldsymbol{\phi}_{h} ^{F_3} \circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_4}\circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_2} \circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_1}\ .
然后分别计算每一个部分。当没有碰撞时，可以约化到正常的Boris算法
\boldsymbol{G}_h ^2=\boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_1}\circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_2} \circ \boldsymbol{\phi}_{h} ^{F_3} \circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_2} \circ \boldsymbol{\phi}_{h/2} ^{F_1}\ .

• 保体积算法²
• 拟牛顿法

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1. 1. Yifeng Zheng et al. 2021 Chin. Phys. B 30 095201
2. 2. Yang He et al. 2015 Phys. Plasma 22 124503

ISSDE可以计算的物理过程

• 快离子轨迹
• 电子-电子碰撞慢化过程
• 电子-离子碰撞过程
• 离子-离子碰撞过程
• 快离子在Tokamak中的运动轨迹
• 快离子在波纹场、MHD扰动场、TBM场以及碰撞作用下的损失
• 边界为最外层闭合磁面，第一壁以及限制器时快离子的损失
• 快离子在Tokamak中的慢化过程
• 快离子分布函数的演化
• 快离子在第一壁和限制器上热负荷功率沉积密度³
• 当前可以计算的装置
  • EAST
  • CFETR
  • BEST
  • CFEDR
  • FRC装置
  • 仿星器

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1. 3. Yifeng Zheng et al. 2023 Nucl. Fusion 63 046016

ISSDE接口设置

• EFIT提供平衡场
• ONETWO提供背景等离子体剖面
• NUBEAM提供快离子初始分布
• ANSYS提供TBM场
• 解析解提供扰动场
• ANSYS提供波纹场
• 解析解提供波纹场
• 解析解提供MHD扰动场
• 工程数据提供第一壁和限制器边界
• TORIC提供ICRF波场

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